Приклади рішення логарифмів з поясненням. Завдання b7-перетворення логарифмічних і показових виразів

4

Логарифми, як і будь-які числа, можна складати, віднімати і всіляко перетворювати. Але оскільки логарифми-це не зовсім звичайні числа, тут є свої правила, які називаються основними властивостями .

Ці правила обов’язково треба знати — без них не вирішується жодна серйозна логарифмічна задача. До того ж, їх зовсім небагато — все можна вивчити за один день. Отже, приступимо.

Додавання і віднімання логарифмів

Розглянемо два логарифми з однаковими підставами: log a x і log a y . Тоді їх можна складати і віднімати, причому:

  1. log a x + log a y = log a (x · y );
  2. log a x − log a y = log a ( x : y ).

Отже, сума логарифмів дорівнює логарифму твору, а різниця — логарифму приватного. Зверніть увагу: ключовий момент тут-однакові підстави . Якщо підстави різні, ці правила не працюють!

Ці формули допоможуть обчислити логарифмічний вираз навіть тоді, коли окремі його частини не рахуються (див.урок «що таке логарифм»). Погляньте на приклади — і переконайтеся:

Log 6 4 + log 6 9.

Оскільки підстави у логарифмів однакові, використовуємо формулу суми:
Log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 · 9) = log 6 36 = 2.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log 2 48-log 2 3.

Підстави однакові, використовуємо формулу різниці:
Log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log 3 135 − log 3 5.

Знову підстави однакові, тому маємо:
Log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Як бачите, вихідні вирази складені з «поганих» логарифмів, які окремо не рахуються. Але після перетворень виходять цілком нормальні числа. На цьому факті побудовано багато контрольних робіт. Та що контрольні-подібні вирази на повному серйозі (іноді — практично без змін) пропонуються на єді.

Винесення показника ступеня з логарифма

Тепер трохи ускладнимо завдання. Що, якщо в підставі або аргументі логарифма стоїть ступінь? тоді показник цього ступеня можна винести за знак логарифма за такими правилами:

Нескладно помітити, що останнє правило слід їх перших двох. Але краще його все-таки пам’ятати-в деяких випадках це значно скоротить обсяг обчислень.

Зрозуміло, всі ці правила мають сенс при дотриманні одз логарифма: a >0, a ≠ 1, x > 0. І ще: вчіться застосовувати всі формули не тільки зліва направо, але і навпаки, тобто можна вносити числа, що стоять перед знаком логарифма, в сам логарифм. Саме це найчастіше і потрібно.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log 7 49 6 .

Позбудемося ступеня в аргументі за першою формулою:
Log 7 49 6 = 6 * log 7 49 = 6 · 2 = 12

Завдання. Знайдіть значення виразу:

[підпис до малюнка]

Зауважимо, що в знаменнику стоїть логарифм, підстава і аргумент якого є точними ступенями: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2 . Маємо:

Приклади рішення логарифмів з поясненням. Завдання b7-перетворення логарифмічних і показових виразів[підпис до рисунка]

Думаю, до останнього прикладу потрібні пояснення. Куди зникли логарифми? до самого останнього моменту ми працюємо тільки зі знаменником. Представили підставу і аргумент стоїть там логарифма у вигляді ступенів і винесли показники — отримали «триповерховий» дріб.

Тепер подивимося на основний дріб. У чисельнику і знаменнику стоїть одне і те ж число: log 2 7. Оскільки log 2 7 ≠ 0, можемо скоротити дріб — в знаменнику залишиться 2/4. За правилами арифметики, четвірку можна перенести в чисельник, що і було зроблено. В результаті вийшла відповідь: 2.

Перехід до нової основи

Говорячи про правила додавання і віднімання логарифмів, я спеціально підкреслював, що вони працюють тільки при однакових підставах. А що, якщо підстави різні? що робити, якщо вони не є точними ступенями того ж числа?

На допомогу приходять формули переходу до нової основи. Сформулюємо їх у вигляді теореми:

Нехай дано логарифм log a x . Тоді для будь-якого числа c такого, що c >0 і c ≠ 1, вірно рівність:

Приклади рішення логарифмів з поясненням. Завдання b7-перетворення логарифмічних і показових виразів[підпис до малюнка]

Зокрема, якщо покласти c = x , отримаємо:

Приклади рішення логарифмів з поясненням. Завдання b7-перетворення логарифмічних і показових виразів[підпис до малюнка]

З другої формули випливає, що можна міняти місцями підстава і аргумент логарифма, але при цьому все вираз «перевертається», тобто логарифм виявляється в знаменнику.

Ці формули рідко зустрічається в звичайних числових виразах. Оцінити, наскільки вони зручні, можна тільки при вирішенні логарифмічних рівнянь і нерівностей.

Втім, існують завдання, які взагалі не вирішуються інакше як переходом до нової основи. Розглянемо парочку таких:

Завдання. Знайдіть значення виразу: log 5 16 · log 2 25.

Зауважимо, що в аргументах обох логарифмів стоять точні ступені. Винесемо показники: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

А тепер «перевернемо» другий логарифм:

[підпис до малюнка]

Оскільки від перестановки множників твір не змінюється, ми спокійно перемножили четвірку і двійку, а потім розібралися з логарифмами.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log 9 100 * lg 3.

Підстава і аргумент першого логарифму — точні ступені. Запишемо це і позбудемося показників:

[підпис до малюнка]

Тепер позбудемося десяткового логарифма, перейшовши до нової основи:

[підпис до малюнка]

Основна логарифмічна тотожність

Часто в процесі вирішення потрібно представити число як логарифм по заданій підставі. У цьому випадку нам допоможуть формули:

У першому випадку число n стає показником ступеня, що стоїть в аргументі. Число n може бути абсолютно будь-яким, адже це просто значення логарифма.

Друга формула-це фактично перефразоване визначення. Вона так і називається: основна логарифмічна тотожність.

Справді, що буде, якщо число b звести в таку ступінь, що число b в цьому ступені дає число a ? правильно: вийде це саме число a . Уважно прочитайте цей абзац ще раз-багато на ньому «зависають».

Подібно формулам переходу до нової основи, основна логарифмічна тотожність іноді буває єдино можливим рішенням.

Завдання. Знайдіть значення виразу:

[підпис до малюнка]

Зауважимо, що log 25 64 = log 5 8 — просто винесли квадрат з підстави і аргументу логарифма. З огляду на правила множення ступенів з однаковою підставою, отримуємо:

[підпис до малюнка]

Якщо хтось не в курсі, це була справжня задача з єді:)

Логарифмічна одиниця і логарифмічний нуль

На закінчення наведу дві тотожності, які складно назвати властивостями — скоріше, це наслідки з визначення логарифма. Вони постійно зустрічаються в завданнях і, що дивно, створюють проблеми навіть для «просунутих» учнів.

  1. log a a = 1 — це логарифмічна одиниця. Запам’ятайте раз і назавжди: логарифм по будь-якій підставі a від самого цього підстави дорівнює одиниці.
  2. log a 1 = 0 — це логарифмічний нуль. Підстава a може бути яким завгодно, але якщо в аргументі стоїть одиниця — логарифм дорівнює нулю! тому що a 0 = 1 — це прямий наслідок з визначення.

Ось і всі властивості. Обов’язково потренуйтеся застосовувати їх на практиці! скачайте шпаргалку на початку уроку, роздрукуйте її — і вирішуйте завдання.

Перераховані рівності при перетворенні виразів з логарифмами використовуються як справа наліво, так і зліва направо.

Варто зауважити, що запам’ятовувати наслідки з властивостей необов’язково: при проведенні перетворень можна обійтися основними властивостями логарифмів і іншими фактами (наприклад, тим, що при b≥0), з яких відповідні наслідки випливають. «побічний ефект» такого підходу проявляється лише в тому, що рішення буде трохи довше. Наприклад, щоб обійтися без слідства, яке виражається формулоюПриклади рішення логарифмів з поясненням. Завдання b7-перетворення логарифмічних і показових виразів, а відштовхуватися лише від основних властивостей логарифмів, доведеться провести ланцюжок перетворень наступного виду:Приклади рішення логарифмів з поясненням. Завдання b7-перетворення логарифмічних і показових виразів.

Те ж саме можна сказати і про останню властивість з наведеного вище списку, якому відповідає формулаПриклади рішення логарифмів з поясненням. Завдання b7-перетворення логарифмічних і показових виразів, так як воно теж випливає з основних властивостей логарифмів. Головне розуміти, що завжди є можливість у ступеня позитивного числа з логарифмом в показнику поміняти місцями підставу ступеня і число під знаком логарифма. Справедливості заради, зауважимо, що приклади, що мають на увазі здійснення перетворень подібного роду, на практиці зустрічаються рідко. Кілька прикладів ми наведемо нижче поЛогарифм добутку двох довільних виразів x і y виду log a (x·y) можна замінити сумою логарифмів log a |x|+log a |y| , a>0 , a ≈ 1 .

  • логарифм приватного виду log a (x: y) можна замінити різницею логарифмів log a |x|−log a |y| , a>0 , a ≈ 1 , x і y – довільні вирази.
  • від логарифму деякого виразу b в парному ступені p виду log a b p можна перейти до виразу p·log a |b| , де a>0 , a ≈ 1 , p – парне число і b – довільний вираз.
  • Аналогічні результати наведені, наприклад, у вказівках до розв’язання показових і логарифмічних рівнянь у збірнику задач з математики для вступників до вузів під редакцією м .і. Сканаві.

    Приклад.

    Спростіть виразПриклади рішення логарифмів з поясненням. Завдання b7-перетворення логарифмічних і показових виразів.

    Рішення.

    Було б добре застосувати властивості логарифму ступеня, суми і різниці. Але чи можемо ми тут це робити? для відповіді на це питання нам потрібно знати одз.

    Визначимо її:
    Приклади рішення логарифмів з поясненням. Завдання b7-перетворення логарифмічних і показових виразів

    Досить очевидно, що вирази x + 4, x−2 і (x+4) 13 на області допустимих значень змінної x можуть приймати як позитивні, так і негативні значення. Тому нам доведеться діяти через модулі.
    Приклади рішення логарифмів з поясненням. Завдання b7-перетворення логарифмічних і показових виразів

    Властивості модуля дозволяють переписати як, тому
    Приклади рішення логарифмів з поясненням. Завдання b7-перетворення логарифмічних і показових виразів

    Також ніщо не заважає скористатися властивістю логарифма ступеня, після чого привести подібні доданки:
    Приклади рішення логарифмів з поясненням. Завдання b7-перетворення логарифмічних і показових виразів

    До такого ж результату призводить і інша послідовність перетворень:
    Приклади рішення логарифмів з поясненням. Завдання b7-перетворення логарифмічних і показових виразів
    І так як на одз вираз x−2 може приймати як позитивні, так і негативні значення, то при винесенні парного показника ступеня 14

    Продовжуємо вивчати логарифми. У цій статті ми поговоримо про обчислення логарифмів , цей процес називають логарифмуванням . Спочатку ми розберемося з обчисленням логарифмів за визначенням. Далі розглянемо, як знаходяться значення логарифмів з використанням їх властивостей. Після цього зупинимося на обчисленні логарифмів через спочатку задані значення інших логарифмів. Нарешті, навчимося використовувати таблиці логарифмів. Вся теорія забезпечена прикладами з докладними рішеннями.

    Навігація по сторінці.

    Обчислення логарифмів за визначенням

    У найпростіших випадках можливо досить швидко і легко виконати знаходження логарифма за визначенням . Давайте детально розглянемо, як відбувається цей процес.

    Його суть полягає в поданні числа b у вигляді a c , звідки за визначенням логарифма число c є значенням логарифма. Тобто, знаходженню логарифма за визначенням відповідає наступний ланцюжок рівностей: log a b=log a a c =c .

    Отже, обчислення логарифма за визначенням зводиться до знаходження такого числа c , що a c =b , а саме число c є шукане значення логарифма.

    Враховуючи інформацію попередніх абзаців, коли число під знаком логарифма задано деякою ступенем підстави логарифма, то можна відразу вказати, чому дорівнює логарифм – він дорівнює показнику ступеня. Покажемо рішення прикладів.

    Приклад.

    Знайдіть log 2 2 -3 , а також обчисліть натуральний логарифм числа e 5,3 .

    Рішення.

    Визначення логарифму дозволяє нам відразу сказати, що log 2 2 -3 =-3 . Дійсно, число під знаком логарифма дорівнює підставі 2 в -3 ступеня.

    Аналогічно знаходимо другий логарифм: lne 5,3 =5,3 .

    Відповідь:

    Log 2 2 -3 =-3 і lne 5,3 =5,3 .

    Якщо ж число b під знаком логарифма не задано як ступінь підстави логарифма, то потрібно уважно подивитися, чи не можна прийти до подання числа b у вигляді a c . Часто таке уявлення буває досить очевидно , особливо коли число під знаком логарифма дорівнює підставі в ступені 1 , або 2, або 3,…

    Приклад.

    Обчисліть логарифми log 5 25 , і .

    Рішення.

    Нескладно помітити, що 25=5 2 , це дозволяє обчислювати перший логарифм: log 5 25=log 5 5 2 =2 .

    Переходимо до обчислення другого логарифма . Число можна представити у вигляді ступеня числа 7:Приклади рішення логарифмів з поясненням. Завдання b7-перетворення логарифмічних і показових виразів(при необхідності дивіться). Отже,Приклади рішення логарифмів з поясненням. Завдання b7-перетворення логарифмічних і показових виразів.

    Перепишемо третій логарифм в наступному вигляді . Тепер можна побачити, щоПриклади рішення логарифмів з поясненням. Завдання b7-перетворення логарифмічних і показових виразів, звідки укладаємо, щоПриклади рішення логарифмів з поясненням. Завдання b7-перетворення логарифмічних і показових виразів. Отже, за визначенням логарифмаПриклади рішення логарифмів з поясненням. Завдання b7-перетворення логарифмічних і показових виразів.

    Коротко рішення можна було записати так: .

    Відповідь:

    Log 5 25=2 ,Приклади рішення логарифмів з поясненням. Завдання b7-перетворення логарифмічних і показових виразівіПриклади рішення логарифмів з поясненням. Завдання b7-перетворення логарифмічних і показових виразів.

    Коли під знаком логарифма знаходиться досить велике натуральне число, то його не завадить розкласти на прості множники. Це часто допомагає представити таке число у вигляді деякої міри підстави логарифма, а значить, обчислити цей логарифм за визначенням.

    Приклад.

    Знайдіть значення логарифма .

    Рішення.

    Деякі властивості логарифмів дозволяють відразу вказати значення логарифмів. До таких властивостей відносяться властивість логарифма одиниці і властивість логарифма числа, рівного основи: log 1 1=log a a 0 =0 і log a a=log a a 1 =1 . Тобто , коли під знаком логарифма знаходиться число 1 або число a, рівне підставі логарифма, то в цих випадках логарифми рівні 0 і 1 відповідно.

    Приклад.

    Чому рівні логарифми і lg10 ?

    Рішення.

    Так як , то з визначення логарифма слідПриклади рішення логарифмів з поясненням. Завдання b7-перетворення логарифмічних і показових виразів.

    У другому прикладі число 10 під знаком логарифма збігається з його підставою, тому десятковий логарифм десяти дорівнює одиниці, тобто, lg10=lg10 1 =1 .

    Відповідь:

    І lg10=1 .

    Відзначимо , що обчислення логарифмів за визначенням (яке ми розібрали в попередньому пункті) має на увазі використання рівності log a a p =p, яке є одним з властивостей логарифмів.

    На практиці, коли число під знаком логарифма і підстава логарифма легко представляються у вигляді ступеня деякого числа, дуже зручно використовувати формулуПриклади рішення логарифмів з поясненням. Завдання b7-перетворення логарифмічних і показових виразів, яка відповідає одному з властивостей логарифмів. Розглянемо приклад знаходження логарифма, що ілюструє використання цієї формули.

    Приклад.

    Обчисліть логарифм .

    Рішення.

    Відповідь:

    Приклади рішення логарифмів з поясненням. Завдання b7-перетворення логарифмічних і показових виразів.

    Не згадані вище властивості логарифмів також використовуються при обчисленні, але про це поговоримо в наступних пунктах.

    Знаходження логарифмів через інші відомі логарифми

    Інформація цього пункту продовжує тему використання властивостей логарифмів при їх обчисленні. Але тут основна відмінність полягає в тому, що властивості логарифмів використовуються для того, щоб висловити вихідний логарифм через інший логарифм, значення якого відомо. Наведемо приклад для пояснення. Припустимо, ми знаємо, що log 2 3≈1,584963, тоді ми можемо знайти, наприклад , log 2 6, виконавши невелике перетворення за допомогою властивостей логарифма: log 2 6=log 2 (2·3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

    У наведеному прикладі нам було достатньо використовувати властивість логарифму твору. Однак набагато частіше доводиться застосовувати більш широкий арсенал властивостей логарифмів, щоб обчислити вихідний логарифм через задані.

    Приклад.

    Обчисліть логарифм 27 за основою 60 , якщо відомо, що log 60 2=a і log 60 5=b .

    Рішення.

    Отже, нам потрібно знайти log 60 27 . Нескладно помітити, що 27=3 3 , і вихідний логарифм в силу властивості логарифма ступеня можна переписати як 3·log 60 3 .

    Тепер подивимося, як log 60 3 висловити через відомі логарифми. Властивість логарифма числа, рівного основи, дозволяє записати рівність log 60 60=1 . З іншого боку log 60 60=log60(2 2 ·3·5)= log 60 2 2+log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3 + log 60 5 . Таким чином, 2 * log 60 2+log 60 3+log 60 5=1 . Отже, log 60 3=1-2·log 60 2−log 60 5=1-2 * a−b .

    Нарешті, обчислюємо вихідний логарифм: log 60 27=3 * log 60 3= 3·(1-2·a-b)=3-6·a−3 * b .

    Відповідь:

    Log 60 27=3·(1-2·a−b)=3-6·a−3·b .

    Окремо варто сказати про значення формули переходу до нової основи логарифма видуПриклади рішення логарифмів з поясненням. Завдання b7-перетворення логарифмічних і показових виразів. Вона дозволяє від логарифмів з будь-якими підставами переходити до логарифмів з конкретною підставою, значення яких відомі або є можливість їх відшукати. Зазвичай від вихідного логарифма за формулою переходу переходять до логарифмів по одній з підстав 2 , e або 10 , так як з цих підстав існують таблиці логарифмів, що дозволяють з певним ступенем точності обчислювати їх значення. У наступному пункті ми покажемо, як це робиться.

    Таблиці логарифмів, їх використання

    Для наближеного обчислення значень логарифмів можуть бути використані таблиці логарифмів . Найбільш часто використовується таблиця логарифмів по підставі 2, таблиця натуральних логарифмів і таблиця десяткових логарифмів. При роботі в десятковій системі числення зручно користуватися таблицею логарифмів по підставі десять. З її допомогою і будемо вчитися знаходити значення логарифмів.

    Приклади рішення логарифмів з поясненням. Завдання b7-перетворення логарифмічних і показових виразів
    Приклади рішення логарифмів з поясненням. Завдання b7-перетворення логарифмічних і показових виразів
    Приклади рішення логарифмів з поясненням. Завдання b7-перетворення логарифмічних і показових виразів
    Приклади рішення логарифмів з поясненням. Завдання b7-перетворення логарифмічних і показових виразів
    Приклади рішення логарифмів з поясненням. Завдання b7-перетворення логарифмічних і показових виразів

    Представлена таблиця дозволяє з точністю до однієї десятитисячної знаходити значення десяткових логарифмів чисел від 1,000 до 9,999 (з трьома знаками після коми). Принцип знаходження значення логарифма за допомогою таблиці десяткових логарифмів розберемо на конкретному прикладі –